递归在应试场景下的使用
2022-04-23 / modified at 2023-04-30 / 1.7k words / 6 mins
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在上一篇的递归中,我们从形而上的角度(数码物)去了解递归,本文从工程角度对递归进行进一步分析。

虽然递归理论上是代码信息密度最高的实现,但是真实拧螺丝中,大部分工作反而是过程式的代码翻译工作,而涉及到递归时一般会有解释器(Curry化)、文件系统或者调度等高级工程问题,因此本文只能介绍应试场景。

应试场景的递归主要难度为代码翻译,代码在定义上很优雅的同时,执行效率上一般是暴力遍历。

大纲

$2递归理论应试场景DFSTreeBacktracking排列组合工程优化缓存记忆(Top-down)dp动态规划(Bottom-up)运行时的栈stack模拟cps优化

理论

工程纬度分析

在任何一个递归函数中,我们一定只有有限的步骤可以操作,这些是可以枚举的

  • 判断:是否为空、比大小(一般需要传递)等
  • 操作:只有四种
    • 更深入到子递归;
      • linear recursion
      • tree recursion
    • 停机(比如空);
    • 有限步骤操作(比如加减计算);
    • 迭代(但是很少见);
  • 结果:求高度、高度差、总数等,一般会放在递归的Context参数中

关于想象

在上一篇的文章中介绍过,递归是时间的综合,它不是发条式思考,我们不能用递归函数的物理运动轨迹(比如分析调用栈的深度,用笔模拟计算、思考何时回栈、光线追踪等)来代表运动本身,用原子论来描述整体论。递归重点是在定义上,是结构性、声明式为主的状态机定义,而不是过程式编程。

From wikipedia
为什么所有的骨牌都会最终倒下?

“归纳法”与工程代码的割裂

我们在递归想象上,强调了分而治之的想法,然而在工程上递归始终是从root一侧开始“绕圈”进行遍历的,本质是仍然一个环形的迭代,在DFS一个node一定只会被遍历一次。这就意味着即使你想出了分而治之的思考与递归的定义,物理运动轨迹仍然需要用迭代方案来实现,这种摇摆带来了理解的困难。

这也意味着,你在工程生产中运用的断点分析、函数式计算等积累的经验均难以使用。个人建议是将思考割裂到底,高阶思考时不需要考虑调用栈、前后序遍历等细节,落地时再分析。

Top-down与Bottom-up的思考方式

在真实项目管理中,我们通过拆解Milestone-Storoy-Task来制定任务,这是一种典型的Top-down的思考方式,在递归中也一样, 比如计算Tree的深度,等价于先计算Tree的左与右的最大值。然后编码设计状态机,最终执行。

而Bottom-up的方案,本质是求积分,需要做好时刻的割裂。

应试场景

DFS on binary tree

当我们对Binary Tree的Node进行处理(解释)时,它的属性只有4个,理论上只要逻辑上处理了4个值,就能解决所有的潜在问题。

$2树的问题枚举node空(exit condition)非空it.val(一般假设空)it.left(exit condition)it.left?.val(exit condition)it.right(exit condition)it.right?.val(exit condition)

而所谓的问题,一般是“翻译问题”,和日常拧螺丝的工作并没有本质的区别。值得注意的是,这里一般是用自然语言来描述递归定义(比如 root-to-leaf/inclusive ),你只能用算法/真值表来定义它,难以用亚里士多德的主谓宾的方式来定义。

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// dfs伪代码,对上面场景的枚举
// Context是上下文,可以为map/array/StringBuilder等,一般需要“fork”创建
// 可以储存tree的深度/用过的值等
int dfs(Node n, Context c){
// exit condition
if(isAtomic(n)){
// 一般为最下面的叶子/单节点
atomicHook(n, c);
return;
}
// 一般为根节点和中间节点
for(child in n.child){
// 遍历到叶子前的积累操作,主要用于处理AnyMatch
preHook(n, child, c);
dfs(child)
// 从叶子向上回溯,直到有子节点为止,一定需要处理AllMatch
postHook(n, child, c);
}
}

这里执行步骤是反直觉的,同时与“分而治之”的想象是割裂的,是按照如下栈的形式执行的

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pre->pre->...->pre(atomic)->atomic->post(atomic)->...->post->post

这里是最难的思考是postHook,可以用给preHookpostHook染色来进行理解。

这是可能有人就会疑问,这样岂不是变成了死记硬背----当然是这样,for循环加递归这种写法处理时,本质上就是暴力解法,一般会组合爆炸,比较低效,但是高效的算法又是hard的,考起来都完蛋,所以比较尴尬。

さらに、更高阶思考的《递归与偶然》的作者许煜研究递归耗费10年才写出一本书,刷过leetcode只能证明可以借助模版拧螺丝。在这个前提下,DFS问题就简化为了一个如何在一次迭代中实现某个需求,比如求深度、最大值等。

常见DFS问题

求Binary Tree的最大高度:

比如计算“Visible Tree Node”

  • Tree的高度:遍历到头时栈的深度
  • Tree的三种遍历与反推:建议直接绕过,先了解回溯。
  • 记录Tree的path

Backtracking

主要用于排列组合问题(比如n!,必须有序或者独立),这类问题一般会组合爆炸,比较低效,但是高效的算法又是hard的,所以定位上比较尴尬。
常见例子有

  • find all root-to-leaf paths
  • Combinations/Subsets/Combination Sum
  • substring
  • 爬楼梯/Decode Ways(约束条件的爬楼梯)

这些问题主要就是暴力循环解决,并适当加一些缓存。

关键控制流

何时判断null

在进行tree的递归时,我们时常会纠结到底用root==null还是root.childs==null,TBD

工程优化

缓存优化

从参数中选一个或者多个参数,返回值可以消费,比如or运算。

DP优化

dp中所用的数组本质上是一种层化的时间维度,用运动轨迹来代替其存在

运行时的栈(选读)

详见动态规划与JenkinsCPS技术

其他

更高的难度问题,比如node多次遍历,依据上下文左右选择等,需要MCTS等方案。